Анри Пуанкаре
Продолжаем публиковать задания «Космической Одиссеи». В этом выпуске решения для 10 классе и задания для 11-го.
Решения заданий для 10 класса
10.1. Великолепная восьмерка
(см. задание 9.2 для 9-го класса и решение к нему в прошлом выпуске)
10.2. «Черный – это цвет?»
На фотографии вы видите солнечное пятно на поверхности Солнца. Как вы догадываетесь, вещество поверхности Солнца представляет собой раскаленный газ, именно этот газ и дает солнечный свет, потому поверхность Солнца называется фотосфера. Почему же пятно черное?
РЕШЕНИЕ. Возможно, вам приходилось в сумерках наблюдать встречную машину, когда она включает фары. До включения фар вы видите, что машина, скажем, красного цвета, но после включения фар машина вам по контрасту кажется уже черной. Солнечное пятно представляет собой раскаленные потоки газа, но температура в пятне значительно (примерно на 15000) меньше, чем вокруг него, поэтому по контрасту пятно кажется черным. Но если бы убрать с неба Солнце, а оставить одно пятно — пятно было бы вполне заметным светилом (темно-красного цвета). Как видите, бывают случаи, что «черный – это цвет!».
10.3. Вакуум в телескопе
У некоторых солнечных телескопов из трубы выкачан воздух. Для чего это сделано?
РЕШЕНИЕ. Возможно, вы в жаркий день видели, что над асфальтом возникает хорошо заметное дрожание воздуха – «марево», и окружающие предметы через это марево выглядят искаженными. Происходит это потому, что солнце нагревает асфальт, асфальт нагревает прилежащие слои воздуха, а в воздухе возникают вихревые потоки, которые и воспринимаются как «марево».
Сходное явление может возникнуть и в солнечном телескопе: солнечные лучи нагревают стенки телескопа и т.д. Изображение Солнца в телескопе по этой причине получится искаженным – например, начнет дрожать. Если выкачать воздух, таких искажений не будет.
10.4. Льдина в небе?
Заметка из газеты: «Во время полета на космической станции «Салют» советский космонавт Георгий Гречко обнаружил на одной из фотографий… льдину, висящую в воздухе выше облаков! Только на Земле удалось разобраться в этом странном явлении…»
Как могла получиться такая фотография? Предложите свое объяснение.
РЕШЕНИЕ. На фотографии был зафиксирован мираж: атмосфера Земли сработала как линза и дала изображение льдины выше облаков. Обычный земной мираж тоже можно сфотографировать. Соответственно, Георгий Гречко мог бы не только сфотографировать, но и увидеть льдину выше облаков – если бы посмотрел в нужный момент в нужном направлении.
10.5. Нагреть Шелезяку
Планета Шелезяка очень похожа на Землю, но на последних выборах во Всемирный Парламент там победили антиэкологисты, которые немедленно построили на всей поверхности планеты (включая моря и океаны) атомные электростанции для нагрева атмосферы. На один квадратный метр поверхности Шелезяки приходится тепловая мощность 100 Вт. Через какое время температура атмосферы увеличится на 10оС? Считайте, что сама планета не нагревается, а мощность излучения в космос остается неизменной.
РЕШЕНИЕ. Каждая порция воздуха при нагревании будет расширяться при неизменном давлении – своем для каждой порции. Воздух на 99% состоит из двухатомных газов, поэтому его молярная теплоемкость при постоянном давлении равна 7/2R.
Найдем число молей газа ν в атмосфере. Атмосферное давление
(S – площадь поверхности планеты, μ – молярная масса воздуха), откуда
Время нагрева τ найдем из уравнения теплового баланса. Поскольку тепло, выделенное станциями, идет на нагрев атмосферы, имеем
Откуда
Подставляя R = 8,31 Дж/(моль∙К); N/S = 1000 Вт/м2; p = 105 Па, μ = 0,029 кг/моль; ΔT = 1К, получаем τ ≈ 104 с ≈ 2,8 ч.
10.6. Как взвесить Галактику?
Оценки массы Галактики, полученные разными способами, дают разные результаты. Визуальный способ состоит в том, что подсчитывают массу светящегося вещества Галактики, расположенного в пределах трех миллиардов астрономических единиц от центра Галактики (r=3∙109a.e.). Такой подсчет показывает, что в этих пределах сосредоточена масса М1=1,5•1011МС (МС=2•1030кг – масса Солнца).
Астрономическая единица (а.е) – среднее расстояние от Земли до Солнца.1а.е.=1,5•1011м
С другой стороны, измерено, что звезды, находящиеся на расстоянии r=3•109 a.e.от центра, обращаются вокруг центра с периодом Т=3,75•108лет, и по этим данным вычисляют другое значение М2 массы нашей Галактики.
Определите величину расхождения и попытайтесь объяснить, какими причинами это расхождение вызвано.
РЕШЕНИЕ. Какая связь между массой Галактики и периодом обращения звезды вокруг центра Галактики? Звезда обращается вокруг Галактики под действием тяготения, действующего на звезду со стороны всего остального вещества Галактики. Массу M этого вещества легко оценить, считая, что форма Галактики близка к сферической (1).
Тогда по закону всемирного тяготения на звезду массы m, находящуюся на расстоянии r от центра, действует сила тяготения
F=GMm/r2. (1)
Если считать, что звезда движется по окружности с периодом T, из 2 закона Ньютона получим
GMm/r2=m•4π2r/T2, (2)
откуда
M=4π2r3/GT2. (3)
Подставляя значения G=6,67•10-11Нм2/кг2, r=3•109a.e.=4,5•1020м, Т=3,75•108лет=11,8•1015с, получим М=4•1041кг=2•1011МС.
Выходит, что «динамическая» масса Галактики, вычисленная на основе законов динамики, в полтора раза больше, чем «визуальная» масса той же Галактики, (определенная на основе визуальных наблюдений). Как же это объяснить?
Если считать, что законы физики, установленные на Земле, действуют во всей наблюдаемой Вселенной, напрашивается простое объяснение: часть галактической массы (пятьсот миллионов солнечных масс!) недоступна визуальному наблюдению, т.е. невидима. Что это может быть за вещество?
Для ясности сначала разберемся, какое вещество в Галактике видимо. В основном, это звезды, которые излучают сами. Кроме них, могут быть видны межзвездный газ и межзвездная пыль, которые можно считать «вторичными источниками» — они при определенных условиях переизлучают свет, полученный от звезд. Такое переизлучение происходит не всегда – бывает, что газ и пыль полностью поглощают видимое излучение.
Так что вклад в «скрытую массу» Галактики могут давать межзвежздный газ и межзвездная пыль. Это могут быть также звезды, которые в ходе своего жизненного цикла либо еще не начали излучать в видимой области (не успели разогреться до нужной температуры), либо уже перестали излучать (например, черные дыры). Еще один возможный ресурс – те элементарные частицы, которые слабо взаимодействуют с веществом (например, нейтрино, если они имеют массу покоя, могут дать большой вклад в скрытую массу).
Задания для 11 класса
11.1. Великолепная восьмерка
(см. задание 9.2 из предыдущего выпуска).
Вы, конечно, узнали на фото планету Сатурн по его знаменитым кольцам. Но однажды Сатурн поразил наблюдателей: наведя телескоп на Сатурн, они не увидели колец! Как бы вы объяснили этот поразительный факт?
11.3. Блуждающие зонды
Одно время в качестве спутников-ретрансляторов попробовали использовать надувные зонды (шары радиусом около 50 метров). Через несколько месяцев выяснилось, что все зонды ушли с расчетных орбит. Как вы думаете, по какой причине?
Оцените силу, которая «сносила» зонды.
11.4. Улыбка без кота
Астроном-любитель Арчер Салли наблюдал комету, которая не имела ядра, а имела только один хвост. Он назвал ее «чеширской кометой» по аналогии с Чеширским котом, который исчезал, а улыбка его еще оставалась.
Объясните, как могла получиться комета без ядра.
11.5. Космические часы
Некоторые звезды пульсируют, причем период этих пульсаций для каждой звезды постоянен. Выведите формулу для этого периода, если известны масса и радиус звезды. Оцените период пульсаций численно для звезды с параметрами, близкими к параметрам Солнца.
11.6. Покинуть планету
Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет скорость v0, падая на нее, он имеет скорость v. Какую скорость нужно сообщить космическому кораблю на поверхности планеты, чтобы он покинул ее безвозвратно?