«Живая геометрия» в I-V классах

Среди цифровых образовательных ресурсов (ЦОР) по математике  особое место занимает  учебно-развивающая программная среда «Живая геометрия». Рассказываем, как организовать на ее базе исследование в 1 — 6 классах.

Аннотация

Учителей математики и педагогов начальной школы  эта статья научит использованию «Живой геометрии» для разработки ЦОР простой структуры (компьютерных заданий) и поможет организовать обучение школьников младшего и среднего возраста исследовательской деятельности. Помимо 10 заданий творческого характера,  направленных на изучение геометрического материала в 1 – 6 классах, педагоги смогут также найти для себя полезные сведения о технологических и дидактических возможностях программы «Живая геометрия».

Систематическому курсу геометрии средней школы предшествует изучение учащимися I—VI классов содержания геометрической линии курса математики. Большую роль в освоении данного геометрического материала, формировании практических и исследовательских умений играют лабораторно-практические и проблемно-поисковые методы обучения. Их использование предполагает, что при непосредственной работе с геометрическими фигурами ребенок экспериментирует, выдвигает гипотезы, доказывает. Это согласуется с возрастными и психологическими особенностями школьников указанной возрастной группы, которым свойственны любознательность, жажда новых впечатлений, постоянное стремление наблюдать и экспериментировать, самостоятельно добывать новые сведения.

Эффективность названных методов в свою очередь зависит от выбранных средств обучения. В последнее десятилетие компьютер зарекомендовал себя как эффективное средство изучения различных школьных предметов, в том числе математики. По мнению известного специалиста в области методики преподавания математики Г.Г. Левитаса, применение компьютера в обучении оправданно тогда, когда приводит к повышению результативности учебного процесса (5). К этому можно добавить, что к компьютерным средствам обучения математике стоит обращаться только тогда, когда они позволяют  создать в учебном процессе наиболее эффективные (по сравнению с другими) условия достижения поставленных целей. Еще одна проблема состоит в выявлении и использовании в обучении компьютерных программ, наиболее адекватных поставленным целям изучения конкретной темы.

Для изучения геометрической линии в 1 – 6 классах могут быть использованы разные виды программных средств: графические редакторы векторной и растровой графики, различные педагогические программные средства, язык программирования Лого (особенно в среде «ЛогоМиры»), учебно-развивающие программные среды. С целью обоснованного выбора программ для изучения геометрического материала в 1 – 6 классах  нами были изучены возможности нескольких прикладных программ общего и учебного назначения, в частности, учебно-развивающей программной среды «Живая геометрия» (оригинальное название — Geometer’s SketchPad). В отличие от таких математических пакетов, как Maple или Mathcad, ориентированных на обучение старшеклассников и студентов, «Живая геометрия» может быть использована как эффективное средство обучения уже в начальной школе.В ходеи сследования нами были решены следующие задачи:

1. Выявлены технологические особенности программы с учетом специфики целевой аудитории – учащихся 1 – 6 классов.

2. Выявлены дидактические и методические особенности программы с учетом специфики целевой аудитории и изучаемой темы (геометрический материал).

3. Обобщены и систематизированы технологические, дидактические и методические особенности программы для использования ее в 1 – 6 классах.

4. Произведено выявление и отбор учебных заданий для учащихся начальной школы и 5 – 6 классов на основе анализа учебных изданий по математике.

5. Разработаны компьютерные задания:

a) Определена структура задания

b) Выбраны способы их реализации (инструменты и команды)

c) Разработаны инструкции для учащихся по технологии выполнения каждого задания)

d) Подготовлены методические рекомендации для учителя

Технологические, дидактические и методические возможности программы «Живая геометрия» априори не очевидны. Еще более проблематичным был учет этих возможностей для рассматриваемой целевой аудитории. Нами они выявлялись в процессе длительной работы по анализу возможностей программы именно для  1 – 6 классов.  Насколько нам известно, в литературе этот аспект не получил отражения.

Проведенный нами анализ программы «Живая геометрия» позволяет говорить о возможности ее применения на всех этапах изучения геометрического материала: при изучении нового материала, закреплении полученных знаний, формировании умений и навыков, систематизации и обобщении изученного материала, а также при осуществлении самоконтроля. Наиболее успешное применение «Живая геометрия» находит при организации поисковой и исследовательской деятельности учащихся, которая может осуществляться на любом из названных этапов изучения геометрического материала.

Результаты решения поставленных в исследовании задач проиллюстрируем примерами компьютерных заданий, разработанных нами в учебно-развивающей программной среде «Живая геометрия».

При проектировании заданий в среде «Живая геометрия» для учащихся начальной школы мы исходили из следующих критериев:

— содержания темы (геометрического материала);

— методики изучения темы;

— технологических возможностей программы «Живая геометрия» для выполнения сформулированных в задании требований;

— технологических возможностей программы для создания электронного дидактического материала.

Кроме того, для задач исследовательского характера мы учитывали еще два обстоятельства:

— возможности программы для формулировки гипотезы (гипотез может быть несколько);

— технологические возможности программы для проверки гипотезы.

Некоторые из задач, которые учащиеся решают с использованием программы «Живая геометрия», не требуют от учителя предварительной разработки электронного дидактического материала — ребята сами строят необходимые объекты и затем манипулируют ими.

Но основная часть заданий выполняется на основе заранее подготовленного электронного дидактического материала (так называемых компьютерных заданий). Компьютерное задание обычно содержит условие, требование и указания по выполнению [4]. Условие — это информационные объекты (текстовые или графические), над которыми должно быть выполнено учебное действие; требование — указание на операцию, которую необходимо выполнить учащемуся;указания по выполнению — инструкция для ученика по технологии выполнения задания. Компьютерное задание творческого характера включает в себя условие, вопрос для исследования и указания по выполнению. Подробная информация о технологии создания компьютерных заданий представлена в наших публикациях [2—4].

Мы выделяем следующие основные этапы создания компьютерных заданий:

— анализ содержания, относящегося к выбранному фрагменту учебной деятельности, и методики его преподавания;

— отбор задач для компьютерных уроков;

— проектирование компьютерных заданий (создание сценария);

— выбор программных средств;

— разработка компьютерных заданий (программная реализация);

— экспертиза, апробация и редактирование разработанных компьютерных заданий;

— разработка методических рекомендаций для учителя и рекомендаций для учащегося;

— реализация компьютерных заданий в учебном процессе.

В рассматриваемой нами ситуации — изучение геометрического материала учащимися I—VI классов с использованием учебно-развивающей программной среды «Живая геометрия» — содержание обучения, методика изучения темы и средство реализации определены заранее.

Ниже приведены примеры заданий, направленных на изучение геометрического материала в начальной школе[1]. Все представленные задания носят творческий характер, многие из них (1—6) формируют навыки исследовательской деятельности. Для каждого задания приводится его условие, вопрос и указания по выполнению, т. е. та информация, которая выдается ученику. Кроме того, для задания 1 приведены подробные указания для учителя, а в других заданиях они приводятся в сокращенном виде — как цель задания и возможная гипотеза.

Задание 1.

Даны два угла — тупой (AOD) и острый (DOB), составляющие развернутый угол AOB:

Как изменится вид углаAOD в зависимости от вида углаDOB?

Указания по выполнению.

1. Изменяя угол DOB, понаблюдайте, как изменяется угол AOD. Результаты наблюдения внесите в таблицу:

2. Подтвердилась ли ваша гипотеза?

Указания для учителя.

1. Цель задания: исследовать, как изменяется тупой угол в зависимости от изменения острого угла.

2. В процессе исследования детьми выдвигаются одна или несколько гипотез, которые либо подтверждаются, либо опровергаются опытным путем. Например, одна из возможных гипотез: когда острый угол становится тупым, тупой угол становится острым.

2. Мы рекомендуем использовать табличную форму фиксирования промежуточных результатов измерений и наблюдений. Таблицы можно создавать в тетради или на том же рабочем поле программы «Живая геометрия».

3. В процессе анализа результатов, полученных в ходе практической деятельности при выполнении задания, учащиеся приходят к самостоятельным выводам:

1) С увеличением величины угла DOB величина угла AOD уменьшается, и наоборот. Величины углов DOB и AOD равны при единственном значении величины углов, равном 90 градусов.

2) Если угол DOB — острый, то угол AOD — тупой, и наоборот. Если угол DOB — прямой, то угол AOD — прямой.

Задание 2

Даны два угла AOD и DOB, составляющие развернутый угол:

Какие два угла составляют развернутый угол?

Цель задания: исследовать, какие два угла могут составлять развернутый угол.

Возможная гипотеза: развернутый угол могут составлять два прямых или два острых угла.

Указания по выполнению.

1. Измерьте величину углов AOD и DOB.

2. Введите результат в таблицу на рабочем поле программы.

3. Измените несколько раз (не менее пяти) величину этих углов. Каждый раз измеряйте величину угла и вводите результаты в новую таблицу.

4. Расположите все таблицы рядом.

5. Сравните результаты и сделайте выводы.

Задание 3

Дано несколько треугольников разного вида:

Одинаковы ли суммы углов в этих треугольниках?

Цель задания: исследовать (на основе измерений и вычислений), чему равна сумма углов любого треугольника.

Возможная гипотеза: сумма углов в разных треугольниках может быть разной.

Указания по выполнению.

1. Измерьте углы каждого треугольника.

2. С помощью команды Измерение, Калькулятор определите сумму всех углов в каждом треугольнике.

3. Выберите один из треугольников.

а) Измените несколько раз (не менее трех) один из углов треугольника.

б) В каждом случае фиксируйте результаты измерений всех углов треугольника.

в) Для каждого случая определите сумму всех углов треугольника (с помощью команды Измерение, Калькулятор).

4. Выполните все задания п.3 с остальными треугольниками.

5. Подтвердилась ли ваша гипотеза?

Задание 4

Дан треугольник АВС:

Исследуйте зависимость между величиной угла и длиной противолежащей стороны треугольника.

Цель задания: исследовать зависимость длины стороны от изменения величины противолежащего угла треугольника.

Указания по выполнению.

1. Измерьте углы и стороны треугольника.

2. Измените несколько раз (не менее пяти) один из углов и зафиксируйте результаты измерений.

3. Сделайте вывод о зависимости длины противолежащей стороны от величины угла.

Задание 5

Дан прямоугольник:

Каким свойством обладают противоположные стороны прямоугольника?

Цель задания: установить на основе измерения равенство противоположных сторон прямоугольника.

Возможная гипотеза: противоположные стороны прямоугольника равны.

Указания по выполнению.

1. Измерьте пары противоположных сторон прямоугольника.

2. Зафиксируйте результаты в таблице.

3. На основании измерения сделайте вывод.

4. Измените несколько раз (не менее пяти) длину одной пары противоположных сторон прямоугольника.

5. Выполните п. 1—3.

6. Измените длину другой пары противоположных сторон прямоугольника.

7. Выполните п. 1—3.

8. Сделайте окончательный вывод о свойстве противоположных сторон прямоугольника.

Задание 6

Дан многоугольник ABCD, в котором проведены отрезки BD и CH :

Изобразите все многоугольники, содержащие угол BAD.

Цель задания: выделение знакомых геометрических фигур на сложном чертеже с заданным условием.

Указания по выполнению.

1. Выберите один из многоугольников, содержащих угол BAD. Выделите последовательно точки, образующие вершины этого многоугольника.

2. Выберите команду Построение, Внутренность многоугольника.

3. Скопируйте многоугольник в правую часть рабочего поля.

4. Выполните п. 1—3 с каждым из многоугольников, содержащих угол BAD.

Задание 7

Дано несколько четырехугольников разного вида:

Одинакова ли сумма углов в каждом из четырехугольников?

Цель задания: исследовать (на основе измерений и вычислений), чему равна сумма углов любого четырехугольника.

Возможная гипотеза: сумма углов в разных четырехугольниках может быть разной.

Указания по выполнению.

1. Измерьте углы каждого четырехугольника.

2. С помощью команды Измерение, Калькулятор определите сумму величин всех углов каждого четырехугольника.

3. Выберите один из четырехугольников.

а) Измените несколько раз (не менее трех) один из углов четырехугольника.

б) В каждом случае фиксируйте результаты измерений всех углов четырехугольника.

в) Для каждого случая определите сумму величин всех углов четырехугольника (с помощью команды Измерение, Калькулятор).

4. Выполните все задания п. 3 с остальными четырехугольниками.

5. Подтвердилась ли ваша гипотеза?

Задание 8.

Дан многоугольник ABCD, в котором проведены отрезки BD, HF, BF и AF:

Определите, сколько различных треугольников на данном чертеже. Изобразите их.

Указания по выполнению.

1. Выберите один из треугольников, изображенных на данном рисунке. Выделите последовательно точки, образующие вершины этого треугольника.

2. Выберите команду Построение, Внутренность многоугольника.

3. Скопируйте треугольник в правую часть рабочего поля.

4. Выполните п.1—4 с каждым из треугольников.

5. В созданном текстовом окне укажите количество выявленных вами треугольников.

Задание9

Дан четырехугольник, являющийся  параллелограммом:

Преобразуйте данный четырехугольник в прямоугольник.

Цель задания: выполнить преобразование параллелограмма в прямоугольник, изменяя величины углов.

Указания по выполнению.

1. Измерьте углы четырехугольника.

2. Изменяйте величины углов до требуемого значения (90 градусов).

Задание 10

Дан четырехугольник:

Докажите, что данный четырехугольник является прямоугольником.

Цель задания: провести доказательство факта с помощью измерений.

Указания по выполнению.

1. Измерьте углы четырехугольника.

2. Сделайте вывод, является ли четырехугольник прямоугольником.

Литература

1. Витухновская А. А. Компьютерная поддержка учебных курсов для начальной школы // Информатика в начальном образовании: Приложение к журналу «Информатика и образование». 2001. № 1.

2. Витухновская А. А., Марченко Т. С., Труханович Н. А. Компьютерная поддержка темы «Доли» в курсе математики II класса // Информатика в начальном образовании: Приложение к журналу «Информатика и образование». 2001. № 1.

3. Витухновская А. А., Марченко Т. С. Проектирование технологии подготовки к обучению младших школьников с использованием компьютера // Информатика и образование. 2004. № 8.

4. Витухновская А. А., Марченко Т. С. Проектирование электронного дидактического материала (на примере курса математики начальной школы) // Педагогический дизайн: Материалы науч.-практ. конф. Санкт-Петербург, 26—27 октября 2004 г. СПб., 2004.

5. Левитас Г.Г. ЭВМ и школьная математика // Информатика и образование. – 1998. – № 2. – С. 99 – 100.