Система работы с математическим объектом

Аннотация

Изучив эту работу, учитель математики научится применять систему работы с математическими объектами к различным темам в рамках своего предмета. Преподаватели других дисциплин получат инструмент формирования УУД, который может быть адаптирован к их условиям. Заместители директоров по УВР найдут здесь основу для организации методической работы с педагогами.

Курс математики традиционно строится как последовательное изучение различных математических объектов и операций над ними. При этом значительная часть математических объектов не имеет в учебном курсе собственной ценности, а рассматривается как инструменты для операций над другими объектами (уравнения и неравенства – инструменты для решения задач, аналогичную роль в геометрии играет окружность). Именно необходимостью использования того или иного инструмента определяется последовательность введения объектов в изучение. Это влияет и на порядок, и на глубину изучения объектов (многие из них изучаются только на уровне понятия и элементарных свойств, рассмотрение других сильно растянуто во времени и не позволяет увидеть объект как систему).

Предлагаемая ниже система работы с математическим объектом позволяет решить проблему формирования системных представлений в курсе математики.

Любой математический объект целесообразно изучать в такой последовательности:

1.     Определение объекта.

2.     Элементы (основные и дополнительные).

3.     Свойства объекта.

4.     Признаки объекта (необходимые и достаточные условия его существования).

5.     Применение (фактически здесь объект рассматривается как инструмент для работы с другими объектами).

Раскроем систему на примере объекта “уравнение”.

1. Определение

1.1. Поисковая работа по выделению математического объекта

Собираем первичный фонд (математическую копилку) для нашего определения. Для этого пользуемся игрой «конструктор математических выражений» (составляем математические выражения, из элементов «конструктора»: чисел, знаков арифметических операций (+ — * : ), знаков операций сравнения, букв, обозначающих неизвестные числа).

Например: 5х+7; 34+12 = 50 — 4; 5х > 9; 3х + 2у = — 34; Х*(2X — 7)=3X…

Полученный фонд классифицируем, выделяем для дальнейшей работы группу «уравнения».

1.2. Построение определения

Общая схема определения:

<Название> – это (1)

<группа> (2)

<существенные признаки> (3)

Задание: по схеме определим объект – уравнение.

Уравнение – это

равенство,

содержащее букву.

или

Уравнение – это

математическое выражение,

являющееся равенством, содержащее букву.

1.3. Работа с готовым определением

·       Выявляем многообразие объектов, подпадающих под определение (копилка уравнений по определению)

Задание: записать 10 уравнений, не похожих одно на другое.

Х=5; 5а + b=27; (x-4)/5 = 6/(x-3); 5*7=2b-6; x2+5=x/6; 1/(x-2)= x2 ; (x-7)3+5=1/y и т.д.

·       Составляем контрпримеры и задачи-ловушки, акцентируя внимание на необходимости пунктов 2) и 3) в определении.

Задание: «придумайте и запишите такое математическое выражение, которое похоже на уравнение, но не уравнение». (Анализируя записанные выражения, дети самостоятельно получают алгоритм построения контрпримера – путем нарушения пунктов 2) и/или 3) в определении).

26+X=; (80-51)*2=58

2. Выделение элементов объекта (подсистем различного уровня).

Основные элементы (получаются непосредственно из определения). Для уравнения это левая и правая части равенства.

Дополнительные элементы (получаются опосредованно, путем допустимых преобразований). В нашем случае – корень уравнения.

3. Свойства объекта

Для изучения свойств объекта можно использовать известные свойства надсистемной группы, к которой относится данный объект. Чтобы изучить свойства, объект надо подвергнуть преобразованиям, не разрушающим его (не меняющим определение объекта).

Задание: преобразуйте уравнение любыми способами. Условие: нельзя уничтожать левую и / или правую часть и нарушать равенство. Постарайтесь найти все возможные способы.

Свойство 1. Если в уравнении правую и левую части поменять местами, то получится равносильное уравнение.

Свойство 2. Если к правой и левой частям уравнения прибавить равные выражения, то получим равносильное уравнение. И т. д.

4. Признаки объектов (достаточные условия их существования).

В качестве признака можно использовать определение (если равенство содержит букву, то оно – уравнение). Часто признаком может служить утверждение, обратное свойству.

Задание: проверить, являются ли утверждения, обратные свойствам, признаками уравнений.

«Если в математическом выражении, содержащем букву, можно менять местами левую и правую часть, то это уравнение».

Задание: составить неправильные признаки (ловушки).

«Если при прибавлении к обеим частям математического выражения с переменной получается равносильное выражение, то это уравнение». Утверждение неверно.

Например, Х>5 => x+7>5+7 – неравенство, а не уравнение.

5. Применение

В любом применении объект становится инструментом для исследования, создания, преобразования других объектов. Уравнение – инструмент для решения некоторого класса текстовых задач, математическая модель конкретной ситуации. Фактически, решая задачу, мы синтезируем уравнение.

Задание: составить задачу по данному уравнению: (2х+5=15).

«От поселка до станции 15 км. Пешеход шел два часа, после чего ему осталось до станции пройти 5 км. С какой скоростью шел пешеход?»

Заметим, для того чтобы адекватно выбирать инструмент для решения текстовых задач, нужно задачи тоже рассмотреть как математический объект.

В работе И.Н. Мурашковски «Интегрированный подход к формированию умений» анализ умений, формируемых в различных учебных курсах, позволил автору выстроить систему в виде морфологической таблицы.

Формируемые умения:

Наша работа предлагает систему формирования знаний об объекте.

Впишем в таблицу знания, необходимые для формирования соответствующих умений.

Заметим, что последний пункт в плане работы с математическим объектом – «Применение» – относится не к знаниям, а к умениям. Меняется роль объекта в системе математических знаний – он превращается в инструмент.

Считаем, что представленная система работы является дидактическим инструментом для получения знаний о новых математических объектах, а также для обобщения и систематизации ранее полученных знаний. Организуя системный подход к изучению объекта, мы закладываем ресурс для формирования системы умений в курсе математики.

Ссылки

Белова Г.В. Творческие копилки на уроках математики

Белова Г.В., Драган Е.А., Нестеренко А.А. Системный подход к работе с определением / http://trizminsk.org/e/2350002_4.htm

Мурашковска И.Н. Интегрированный подход к формированию умений / http://trizminsk.org/e/23213.htm